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기호논리학 XXI: 양화논리2 [형식 언어 체계] 본문

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기호논리학 XXI: 양화논리2 [형식 언어 체계]

형이상학적 찐따 2015.07.20 12:11

이 글은 연세대학교 철학과의 선우환 교수님께서 강의하신 논리학 수업 필기를 바탕으로 쓴 것입니다. 작성자 본인의 이해에 따라 소폭 수정하거나 추가한 부분이 있습니다. 실제 강의 내용과 다를 수 있습니다.


양화논리 체계는 당연히 양화문장들과 그것들을 잇는 연결사 등 갖가지 기호들로 이루어져 있다. 양화논리 체계가 작동하는 방식을 본격적으로 공부하기 전에 그 형식 언어를 먼저 익혀야 하는 까닭이다.


I 기초적 어휘

먼저 개체 상항constant이라는 것이 있다. '홍길동'이나 '바둑이' 같은 개체를 가리키는 것으로 주로 소문자 알파벳을 사용하여 기호화한다. 보통은 'a'부터 차례로 쓴다. 다음은 술어predicate다. '동물이다'나 '외계인이다' 같은 것을 가리킨다. 주로 대문자 알파벳이 그 기호가 되는데 대개 'F'부터 차례로 사용한다. 변항variable은 개체 상항과 달리 지칭하는 대상이 정해져 있지 않은 것이다. 기호화할 때는 역시 소문자 알파벳을 사용하지만 대부분의 경우 'x'부터 차례로 씀으로써 개체 상항과 구분한다. 그 외에도 명제논리 체계를 공부하면서 배웠던 5개의 연결사들과 양화사들이 사용된다. (개체 상항과 술어는 비논리상항, 그리고 연결사와 양화사는 논리상항으로 분류된다.)

개체 상항

a, b, c, …

술어

F, G, H,  

변항

x, y, z, 

연결사

~, ∨, &, →, ↔

양화사

∀, ∃


II 식과 문장

위 기초적 어휘들을 활용해서 명제논리 체계에서 p, q, r 등으로 간단하게 나타냈던 문장들을 양화문장으로 나타내볼 수 있다. 가령 Fa나 Gb 등은 원자 문장에 해당한다. 물론 원자 문장과 연결사가 결합하면 분자 문장이 된다. [원자 문장과 분자 문장의 구분] 이들 문장에 포함된 개체 상항을 변항으로 대체하면 그 문장은 열린 문장, 곧 식이 된다. 물론 식도 원자 식과 분자 식으로 나눌 수 있다. 가령 Fx는 원자식인 반면 ~Fx나 Fx&Gy는 분자식이다. 식에 양화사를 붙여서 변항의 범위를 규정해주면 그 식은 곧 문장이 된다. 자유 변항이 속박 변항이 되었다고도 말한다. 예를 들어 양화 문장 (∀x)(~Fx)에서 변항 x는 보편 양화사에 의해 속박된다. 따라서 (∀x)(~Fx)는 식이 아니라 문장이다.

사실 식과 문장은 상호배타적인 것이 아니다. 문장은 식을 포함한다. 다시 말해 모든 식은 문장이지만, 모든 문장이 식은 아니다. 앞서 식의 예로 언급했던 ~Fx와 Fx&Gy도 모두 (식인 동시에) 문장이다. 다만 Fa와 Gb 등은 식이 아닌 문장이다. 자유 변항을 단 하나라도 포함하고 있다면 그것은 식 (그리고 문장)이다. 반대로 변항이 없거나 있더라도 양화사에 의해 속박되어 있는 경우 그것은 식이 아닌 문장이 된다. 참고로 (∃x)(Fx&Gy)에서 비록 변항 x는 존재 양화사에 의해 속박되었지만 변항 y는 여전히 자유 변항이므로 이것은 식이다. 물론 식이 아닌 문장과 달리 식은 진리값을 가질 수 없다.

(식이 아닌) 문장

자유 변항이 없음

변항이 없거나 있더라고 양화사에 의해 속박되어 있음

자유 변항이 최소 1개 존재

진리값을 가짐

진리값을 가지지 않음

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