기호논리학 XXVI: 양화논리7 [형식 언어의 해석]

이 글은 연세대학교 철학과의 선우환 교수님께서 강의하신 논리학 수업 필기를 바탕으로 쓴 것입니다. 작성자 본인의 이해에 따라 소폭 수정하거나 추가한 부분이 있습니다. 실제 강의 내용과 다를 수 있습니다.

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I 양화논리의 형식 언어 해석

명제논리 체계에서의 해석interpretation이 각 원자 문장에 진리값을 할당하는 작업이라면 양화논리 체계에서 형식 언어를 해석하는 것은 (1) 논의 영역(=전체 집합)을 설정하고 (2) 각 개체 상항에 (논의 영역 속의) 대상을 할당 후 (3) 각 술어에 (논의 영역 속의) 특정 대상들^[각주:1]의 집합을 할당하는 것이다. [명제논리 체계에서의 형식 언어 해석] 참고로 논의 영역은 공집합이어서는 안 된다. 또 개체 상항과 술어 집합의 원소에 할당되는 각 대상들은 어떤 식으로 표현해도 좋다. 내포가 다르더라도 외연만 같다면 동일한 대상이 할당되었다고 볼 수 있기 때문이다. 이렇게 해석 작업이 끝나면 비로소 문장(들)의 진리값이 결정된다. 간단하게 몇 가지 해석을 시도해보기로 한다.

해석 : (1) 논의 영역은 사람들의 집합으로 설정한다. (2) 개체 상항 a, b, c에는 각각 소크라테스와 플라톤, 호메로스를 할당한다. (3) 술어 F, G, R에는 각각 {x|x는 철학자다}, {x|x는 시인이다}, {<x, y>|x는 y의 스승이다}라는 집합을 할당한다. (물론 집합은 조건제시법이 아니라 원소나열법을 통해 기술할 수도 있다.) 그러면 해석 작업이 끝난다.

해석 : (1) 논의 영역은 {1,2,3}이다. (2) 개체 상항 a, b, c는 각각 1과 2, 3을 가리킨다. (3) 술어 F, G, R은 각각 집합 {1, 2}, {2, 3}, {<1, 2>, <2, 3>, <3, 1>}을 할당받는다. 해석 작업 끝!

II 해석에 따른 진리값

우리가 이렇게 문장들의 진리값을 판단할 수 있는 것은 해석이 제시되었기 때문이다. 위와 같은 해석이 없이는 각 문장들의 진리값이 전혀 결정되지 않는다. 이 지점에서 알 수 있는 사실은 같은 문장이라도 다른 해석 아래에서는 다른 진리값을 가질 수 있다는 것이다. 예를 들어 문장 Gb는 해석 에 따르면 거짓이지만 해석 를 따르면 참이다. 반대로 (∀x)(∃y)Rxy는 해석 와  아래에서 각각 거짓과 참이다.

그렇다면 특정한 해석 아래에서 어떤 문장이 참인지의 여부는 어떻게 판단하는가?

'Fa'가 해석 I에서 참이다 ⇔ a에 할당된 대상이 F에 할당된 집합의 원소다

'Rab'가 해석 I에서 참이다 ⇔ a와 b에 할당된 대상들로 이루어진 순서쌍이 R에 할당된 집합의 원소다

문장 Gb는 해석 에서는 거짓이다. 왜냐하면 b에 할당된 대상 플라톤이 G에 할당된 집합의 원소가 아니기 때문이다. 플라톤은 시인이 아니지 않은가? 하지만 똑같은 문장도 해석 에 따르면 참이 된다. b에 할당된 대상 2는 G에 할당된 집합 {2, 3}의 원소이기 때문이다.

이렇게 특정한 해석에 따라 술어 문장의 진리값을 결정하고 나면 각각의 술어 문장을 명제논리 체계에서 원자 문장 다루듯 다룰 수 있다. 가령 와 에서 Gb가 각각 거짓과 참이라면 ~Gb는 과 에서 각각 참과 거짓이 될 것이다.

해석 I에서 소크라테스는 'Fx'를 만족시킨다 ⇔ 소크라테스가 F에 할당된 집합의 원소다

이렇게 'Fx'와 같은 식을 가지고서 해석에 따른 진리 조건을 나타낼 수도 있다.

그렇다면 양화 문장은 어떻게 해석할까?

'(∀x)Φx'가 해석 I에서 참이다 ⇔ I의 논의 영역의 모든 대상이 'Φx'를 만족시킨다

가령 (∀x)Fx는 와  모두에서 거짓이다. 에서 호메로스는 철학자들의 집합의 원소가 아니며 에서 3 역시 F에 할당된 집합의 원소가 아니다.

'(∃x)Φx'가 해석 I에서 참이다 ⇔ I의 논의 영역의 어떤 대상이 'Φx'를 만족시킨다

그래서 (∃x)Fx는 와  모두에서 참이다. 에서는 'x가 철학자이다'라는 식을 만족시키는 소크라테스와 플라톤이 존재하며 의 논의 영역에도 F에 할당된 집합의 원소가 존재한다.

해석 I에서 소크라테스는 '(∀y)Rxy'를 만족시킨다

⇔ 해석 I에서 <소크라테스, 논의 영역의 모든 대상>이 R에 할당된 집합의 원소다

물론 에 따르면 위 문장들은 거짓이다. 순서쌍 <소크라테스, 호메로스>은 R에 할당된 집합의 원소가 아니기 때문이다. 소크라테스는 호메로스의 스승이 아니다.

해석 I에서 소크라테스는 '(∃y)Rxy'를 만족시킨다

⇔ 해석 I에서 <소크라테스, 논의 영역의 어떤 대상>이 R에 할당된 집합의 원소다

반면 해석  아래에서 위 문장들은 참이 된다. 플라톤이 존재하기 때문이다. 순서쌍 <소크라테스, 플라톤>은 R에 할당된 집합 {x|x는 y의 스승이다}의 원소다.

1. 1항 술어에는 개체 상항(들)의 집합을 할당해야 하는 반면 다항 술어에는 순서쌍 혹은 순서다중체(들)의 집합을 할당해야 한다. [본문으로]